In some recent papers ((1), (2) and (3)) about reinsurance problems I have made extensive use of utility concepts. It has been shown that if a company follows well defined objectives in its reinsurance policy, these objectives can be represented by a utility function which the company seeks to maximise. This formulation of the problem will in general make it possible to determine a unique reinsurance arrangement which is optimal when the company's objectives and external situation are given.

More than 50 years ago Guldberg (4) wrote (about the probability of ruin): “Wie hoch diese Wahrscheinlichkeit gegriffen werden soil, muss dent subjektiven Ermessen oder von Aussen kommenden Bedingungen überlassen bleiben”. This is the traditional approach to reinsurance problems. It does obviously not lead to a determinate solution. Most authors taking this approach conclude their studies by giving a mathematical relation between some measure of “stability”, such as the probability of ruin, and some parameter, for instance maximum retention, to which the company can give any value within a certain range. Such studies do usually not state which particular value the company should select for this parameter, i.e. what degree of stability it should settle for. This question is apparently considered as being outside the field of actuarial mathematics.

By a general theorem the necessary and sufficient condition for a function φ0 (σ) being completely monotonic for σ lying in the right semi-plane, i.e. that the nth derivative with respect to σ has the sign of (— 1)n, is that the function may be represented by the Laplace-Stieltjes integral , where U (v) is a non-decreasing function of v, independent of σ and bounded in every finite interval, σ a real or complex variable represented in the right semi-plane, s a real constant ≤ the real part of σ. By the notation φn (σ) we designate , which for U (v) being independent of σ, as assumed above, is equal to .

Definition 1. A compound Poisson process (in the narrow sense) is a process for which the probability distribution of the number of changes in the random function Y (t), constituting the process, occurring while the parameter, which is represented on the positive real axis, is in the interval (o, t) for every value of t, is defined by the following relation

the function φn (σ) being defined by the integral given above and subject to the condition that φ0 (σ) tends to unity, when σ tends to s. The function U (v) in the integrand of φn (σ) is, then, a distribution function which defines the risk distribution, in this case said to be t-independent.

In his recent paper, “An Attempt to Determine the Optimum Amount of Stop Loss Reinsurance”, presented to the XVIth International Congress of Actuaries, Dr. Karl Borch considers the problem of minimizing the variance of the total claims borne by the ceding insurer. Adopting this variance as a measure of risk, he considers as the most efficient reinsurance scheme that one which serves to minimize this variance. If x represents the amount of total claims with distribution function F (x), he considers a reinsurance scheme as a transformation of F (x). Attacking his problem from a different point of view, we restate and prove it for a set of transformations apparently wider than that which he allows.

The process of reinsurance substitutes for the amount of total claims x a transformed value Tx as the liability of the ceding insurer, and hence a reinsurance scheme may be described by the associated transformation T of the random variable x representing the amount of total claims, rather than by a transformation of its distribution as discussed by Borch. Let us define an admissible transformation as a Lebesgue-measurable transformation T such that

where c is a fixed number between o and m = E (x). Condition (a) implies that the insurer will never bear an amount greater than the actual total claims. In condition (b), c represents the reinsurance premium, assumed fixed, and is equal to the expected value of the difference between the total amount of claims x and the total retained amount of claims Tx borne by the insurer.

La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents à Lucerne, chargée du service de l'assurance obligatoire en cas d'accidents en Suisse, a publié il y a quelque temps les „Résultats de la statistique des accidents de la huitième période quinquennale 1953-1957”. Cette publication, qui est la huitième, paraît tous les cinq ans en français et en allemand). Ces différents rapports donnent un aperçu intéressant de la situation de l'assurance-accidents obligatoire en Suisse. Ils constituent dans leur ensemble une documentation précieuse touchant l'un des aspects du développement de la sécurité sociale en Suisse depuis 1918. C'est en effet à cette date que l'assurance obligatoire en cas d'accidents est entrée en vigueur et que la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents, établissement de droit public autonome, a commencé son activité.

Le dernier rapport sera aussi consulté avec fruit par quiconque s'intéresse aux problèmes de l'assurance sociale. Cette publication d'environ 180 pages, illustrée par de nombreux tableaux, graphiques et illustrations, fournit une quantité d'indications très utiles présentées de façon claire. Les premiers chapitres sont surtout consacrés aux statistiques tirées du règlement des sinistres, tandis que les derniers chapitres traitent de quelques problèmes d'assurance spéciaux qui sont particulièrement actuels.

In dem vorliegenden Artikel werden verschiedene Berechnungsmethoden diskutiert. Mit Hilfe mathematischer Tests werden die den Näherungsverfahren zugrundeliegenden Annahmen überprüft. Ausserdem ergibt ein Vergleich der Ergebnisse nach den verschiedenen Methoden einen Überblick bezüglich der Grenzen, in denen die Schwankungsrückstellung liegen sollte.

Die exakte Berechnung der benötigten Reserve ist nach den Methoden der kollektiven und auch der individuellen Risikotheorie nur möglich über die Verteilungsfunktion des Gesamtschadens. Wegen der auftretenden Faltungspotenzen der Verteilungsfunktion der Schadenshöhe sind diese Formeln sehr kompliziert. Man ist daher gezwungen bei praktischen Berechnungen von Näherungsformeln auszugehen.

Die einzelnen Verfahren unterscheiden sich wesentlich in den über die Schadensverteilung gemachten Annahmen. Es wird entweder die Verteilungsfunktion unmittelbar aus den Beobachtungsergebnissen hergeleitet oder von bekannten Verteilungsgesetzen, wie z.B. dem Poisson-Gesetz, ausgegangen.

Nous donnerons ci-après un aperçu de quelques domaines d'application de la théorie du risque dans l'assurance de choses et en particulier dans l'assurance incendie en Autriche.

Il convient cependant de signaler que ce domaine n'a pas encore reçu beaucoup d'applications pratiques en Autriche, mais, ainsi que le montrera la suite de ce travail, l'application pratique de la théorie du risque a déjà conduit à quelques résultats positifs.

Du point de vue de la pratique actuarielle dans l'assurance de choses, il faut distinguer deux problèmes principaux:

a) la détermination du risque individuel;

b) la détermination du risque collectif.

Ces deux problèmes feront l'objet des deux prochains chapitres de ce travail. Un dernier chapitre mettra en lumière les relations de ces problèmes avec d'autres disciplines et fera état, pour terminer, de quelques perspectives pratiques.

Dans l'assurance de choses, il faut distinguer trois méthodes de détermination du coût de la couverture du risque individuel:

a) estimation empirique du coût du risque individuel;

b) détermination du coût à l'aide de séries d'observations par la comparaison des sinistres et des primes ou des sinistres et des sommes assurées;

c) détermination statistique exacte des primes à l'aide de la théorie individuelle du risque.